साधारण और दशमलव भिन्न (Ordinary and decimal fractions)

भिन्न

भिन्न एक ऐसी संख्या है, जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ, p और q धनात्मक पूर्णांक है, लेकिन q ≠ है।

यहाँ, p को अंश और q को हर कहा जाता है। उदाहरण के लिए एक 2/7 भिन्न है. जिसमें 2 अंश है और 7 हर है।

साधारण भिन्न  

ऐसी भिन्न जिसमें अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक होते हैं, साधारण भिन्न कहलाती है। इसे सामान्य या अशिष्ट भिन्न भी कहा जाता है।

जैसे- 3/7, 5/9, 8/5

साधारण भिन्नों के प्रकार

साधारण भिन्न निम्न प्रकार की होती है

1. उचित भिन्न – यदि भिन्न का अंश उसके हर से कम है, तो इसे उचित भिन्न कहा जाता है। जैसे – 3/7, जहाँ अंश 3, हर 7 से कम है।
2. अनुचित भिन्न – यदि भिन्न का अंश उसके हर से बड़ा या बराबर है, तो इसे अनुचित भिन्न कहा जाता है। जैसे – 10/3, 13/5, 17/9, … आदि।
3. मिश्रित भिन्न – एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के संयोजन को मिश्रित भिन्न कहा जाता है। जैसे – 4 1/3 , 2 1/5, 3 ½ … आदि।
4. समान भिन्न – वे भिन्न जिनके हर समान होते हैं, समान भिन्न कहलाती हैं। जैसे – 2/19, 5/19 आदि, समान भिन्न हैं।
5. असमान भिन्न – वे भिन्न जिनके हर असमान होते हैं, उन्हें असमान भिन्न कहा जाता है। जैसे – 3/7, 3/8 आदि, असमान भिन्न है।
6. व्युत्क्रम भिन्न – यदि हम किसी भिन्न के अंश और हर को व्युत्क्रमित करते हैं, तो परिणामी भिन्न मूल भिन्न की व्युत्क्रम भिन्न होती है। जैसे – यदि भिन्‍न =2/5. तब, इसकी व्युत्क्रम भिन्न = 5/2

7. सतत् भिन्न – ऐसी भिन्न जिसमें अंश या हर में अतिरिक्त भिन्न होती है, उन्हें सतत् भिन्न कहा जाता है।

   जैसे- और 

8. समतुल्य भिन्न – वे भिन्न जिनके मान समान होते हैं, समतुल्य भिन्न कहलाती हैं। जैसे 1/2 = 4/8 = 5/10, …, आदि।

दशमलव भिन्न

वह भिन्न जिसका हर दस की घात (जैसे-10, 100, 1000, आदि) के रूप में है और दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, दशमलव भिन्न कहलाती है।

जैसे 3/10, 13/100, 1575/1000, …., आदि।

दशमलव भिन्नों के प्रकार

दशमलव भिन्न दो प्रकार की होती हैं –

1. गैर-पुनरावृत्त/सांत दशमलव भिन्न – वह दशमलव संख्या, जो दशमलव बिन्दु के बाद समाप्त हो जाती है, को गैर-पुनरावृत्त/सांत दशमलब भिन्न कहा जाता है।

   जैसे-1/5 = 0.5, 5/8 = 0.625 आदि।

   नोट – यदि किसी भिन्न का हर 2^m x 5ⁿ के रूप में है, तो भिन्न का दशमलव प्रसार सांत होता है, जहाँ m तथा n धनात्मक पूर्णांक हैं। जैसे – 27 / 2² × 5²

2. पुनरावृत्त/असांत दशमलव भिन्न – वह दशमलव संख्या जिसमें दशमलव बिन्दु के बाद एक अंक या अंकों के अनुक्रम की लगातार पुनरावृत्ति होती है, उसे पुनरावृत्त/असांत दशमलव भिन्न कहा जाता है। एक पुनरावृत्त दशमलब को प्रदर्शित करने के लिए, पुनरावृत्ति बाले अंको के ऊपर एक रेखा (या बार) खींचते हैं।

   जैसे – 1/7 = 0.142857142857… =  0.142857 आदि।

   पुनरावृत्त दशमलव भिन्न दो प्रकार की होती है, जो निम्न प्रकार है

   (a) शुद्ध पुनरावृत्त दशमलव भिन्न ऐसी पुनरावृत्त दशमलव भिन्न जिसमें दशमलब बिन्दु के बाद के सभी अंक पुनरावृत्ति करते हैं, शुद्ध पुनरावृत्त दशमलव भिन्न कहलाती है। जैसे – 1/3 = 0.3333 – 0.3

   (b) मिश्रित पुनरावृत्त दशमलव भिन्न ऐसी पुनरावृत्त दशमलव भिन्न, जिसमें कुछ अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती है, मिश्रित पुनरावृत्त दशमलव भिन्न कहलाती है। जैसे – 5/6 = 0.8333… = 0.83 और 1/18 = 0.0555… = 0.05

प्रकार 1 : साधारण भिन्नों पर संक्रियाएँ

1.भिन्न का योग

भिन्न का योग = (पहली भिन्न × ल.स. + दूसरी भिन्न × ल.स.+…) / भिन्न के हरों का ल.स.

जैसे – (7/5 + 5/3 = 7/5 × 15 + 5/3 × 15) / 15 = 46/15 = 3 1/15

2. भिन्न का घटाव (अन्तर)

भिन्न का योग = (पहली भिन्न × ल.स. – दूसरी भिन्न × ल.स.+…) / भिन्न के हरों का ल.स.

जैसे – (3/5 – 1/10 = 3/5 × 10 + 1/10 × 10) / 10 = (6-1)/10 = 5/10 = 1/2

3. भिन्नों का गुणन

दो या दो से अधिक साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए, उनके अंशों और हरों को गुणा करें।

जैसे – 4/7 × 3/5 = (4×3)/(7×5) = 12/35

4. भिन्नों का विभाजन

एक भिन्न को दूसरी भिन्न से विभाजित करने के लिए, पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

जैसे – 7/12 ÷ 5/24 = 7/12×24/5 = 14/5 = 2 4/5

प्रकार 2 : दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ

जैसे – 919+9.019+0.919+9.0019 = 919.0000

प्रकार 3 : दशमलव भिन्नों का रूपान्तरण

1. एक शुद्ध पुनरावृत्त दशमलव भिन्न का एक साधारण भिन्न में रूपान्तरण एक शुद्ध पुनरावृत्त दशमलव संख्या, एक ऐसी भिन्न के बराबर होती है, जिसमें पुनरावृत्त अंक, भिन्न के अंश के रूप में होते हैं और संख्या ‘9’ इसके हर के रूप में पुनरावृत्त अंकों की संख्या के बराबर होती है।

   जैसे- 0.568 = 568/999

2. एक मिश्रित पुनरावृत्त दशमलव भिन्न का एक साधारण भिन्न में रूपान्तरण एक मिश्रित पुनरावृत्त दशमलव संख्या, ऐसी भिन्न के बराबर होती है, जिसका अंश दशमलव बिन्दु के बाद सभी अंकों द्वारा बनाई गई संख्या (पुनरावृत्त अंक केवल एक बार लिए जाते हैं) और गैर-पुनरावृत्त अंकों द्वारा बनाई गई संख्या का अन्तर होता है। हर में, पुनरावृत्ति वाले अंकों की संख्या के बराबर संख्या में 9 लेते हैं और नौ के बाद, गैर-पुनरावृत्ति वाले अंकों की संख्या के रूप में शून्य रखते हैं।

   जैसे- 01236 = 1236-12/9900 = 1224/9900 = 34/275

प्रकार 4 : भिन्नों की तुलना पर आधारित

1. प्रकार 4 : भिन्नों की तुलना पर आधारित

   भिन्न का दशमलव रूप में परिवर्तन दो या दो से अधिक भिन्नों की तुलना करने के लिए पहले उनको सम्बन्धित दशमलव रूप में परिवर्तित करें, उसके पश्चात् तुलना करें।

   जैसे – 1/8 और 2/5 में कौन-सी भिन्न बढ़ी है?

   यहाँ 1/8 = 0.125 और 2/5 = 0.4

   अतः 0.4, अर्थात् 2/5 बड़ी भिन्न है।

2. भिन्नों के हर को बराबर करके यदि भिन्न-भिन्न हरों वाले दो या दो से अधिक भिन्नों की तुलना करनी है, तो उन्हें ऐसी समतुल्य भिन्नों में परिवर्तित करें, जिनके हर दिए गए भिन्नों के हर के लघुत्तम समापवत्यं के बराबर है।

   अब, सबसे बड़े अंश वाली भिन्न सबसे बड़ी भिन्न होगी।

   जैसे – 11/3 और 13/4 में कौन-सी भिन्न बड़ी है?

   हम जानते हैं कि, 3 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य = 12

   अब, हर को समान बनाने पर,

   11/3 = 11/3 × 4/4 = 44/12 और 13/4 = 13/4 × 3/3 = 39/12

   अतः 44/12 अर्थात् 11/3 बड़ी भिन्न है।