वर्गमूल तथा घनमूल (square root and cube root)

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वर्गमूल तथा घनमूल (square root and cube root)

वर्ग

किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या का वर्ग कहलाती है।

जैसे – 35 का वर्ग – 35 × 35 = (35)2 =1225

और 25 का वर्ग – 25 × 25 = (25)2 = 625

 

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या है, जिसे स्वयं से ही गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। इसे (√) चिह्न से प्रदर्शित करते हैं।

जैसे –  9 का वर्गमूल √9 =3

 

घन

यदि किसी संख्या को स्वयं से दो बार गुणा किया जाए, तब प्राप्त संख्या, उस संख्या का घन कहलाती है।

जैसे – 3 का घन = 33 = 3 × 3 × 3 = 27

 

घनमूल

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है, जिसे स्वयं से दो बार गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। किसी संख्या का घनमूल दशनि के लिए संख्या पर 3√ चिह्न का प्रयोग करते हैं।

जैसे – 125 का घनमूल 125 = 5

 

प्रकार 1 वर्ग तथा वर्गमूल ज्ञात करने पर आधारित

1. वर्ग ज्ञात करने की विधियाँ

किसी संख्या का वर्ग निम्नलिखित विधियों द्वारा ज्ञात करते हैं।

 

गुणन विधि

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, उसे स्वयं से गुणा करते हैं। इस प्रकार प्राप्त संख्या या प्राप्त गुणनफल, उस संख्या का वर्ग होता है। जैसे- 26 का वर्ग (26)2 = 26 × 26 = 676

 

बीजगणितीय विधि

इस विधि में, किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित दो सूत्रों का प्रयोग करते हैं

(1) (a + b)² = a² + b² + 2ab

(ii) (a – b)² = a² + b² – 2ab

जैसे- (84)2 = (80+4) 2 = 802 + 42 + 2 x 80 x 4 = 6400 + 16 + 640 = 7056

या (84)2 = (90 – 6)2 = 902 + 62 – 2 x 90 x 6 = 8100 + 36 – 1080 = 7066

 

दशमलव संख्या का वर्ग

किसी दशमलव संख्या का वर्ग जात करने के लिए दशमलव पर ध्यान न देते हुए संख्या का वर्ग करते हैं और फिर प्राप्त परिणाम में दी गई संख्या में दशमलव के बाद के अंकों की संख्या के दोगुने स्थान के बराबर इकाई अंक से दशमलव लगाते हैं।

जैसे- (45)2 = ?

यहाँ, (45)2 = 2025

अब, दी गई संख्या 4.5 में, एक अंक के बाद दशमलव लगा हुआ है।

अतः दशमलव को मूल संख्या में दशमलव के बाद लगे हुए अंक से दोगुने स्थान के बराबर इकाई अंक से दशमलव लगाया जाएगा।

(45)2 = 2025

नोट किसी संख्या के वर्ग के इकाई अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 होते हैं, लेकिन 2, 3, 7 और 8 कभी नहीं हो सकते हैं।

 

2. वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

किसी संख्या का वर्गमूल निम्नलिखित विधियों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

अभाज्य गुणनखण्ड विधि

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए निम्न चरणों का अनुसरण करते हैं।

चरण 1 : दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं।

चरण 2 : समान अभाज्य गुणनखण्डों के युग्म बनाते हैं।

चरण 3 : प्रत्येक चुग्म से एक संख्या लेकर गुणा करते है।

तब, प्राप्त गुणनफल ही दी गई संख्या का अभीष्ट वर्गमूल होता है।

जैसे- √8281-2

चरण 1 : √8281 = √(7 × 7 × 13 × 13)

चरण 2 : √18281 = √(7 × 7 × 13 × 13)

चरण 3 : √8281 = 7 × 13 = 91

 

विभाजन विधि

दी गई संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए निम्न चरणों का अनुसरण करते हैं।

चरण 1 : दी गई संख्या के दाई ओर से युग्म बनाते है।

जैसे- √279841

चरण 2 : बाई ओर के युग्म या अंक को ऐसी संख्या से भाग करते हैं, जिसका वर्ग, युग्म या अंक के बराबर या कम हो। इस संख्या को भावक के स्थान पर लिखते है। अब, भागफल और शेषफल ज्ञात करते हैं।

  

चरण 3 : अगला युग्म शेषफल के दाई ओर लिखते हैं।

चरण 4 : नए भावक के स्थान पर, पहले भाजक और भागफल का योग लिखते है। एक अंक को भाजक के दाई ओर तथा भागफल में भी इस प्रकार लिखते है कि जिसको गुणा प्राप्त भाजक में करने पर प्राप्त गुणनफल भाज्य के बराबर या उससे कम हो।

प्राप्त गुणनफल को भाज्य के नीचे लिखकर शेषफल ज्ञात करते हैं।          

चरण 5 : इस क्रिया को तब तक दोहराते हैं, बब तक सभी युग्म समाप्त न हो जाएँ। इस प्रकार प्राप्त भागफल ही दी गई संख्या का अभीष्ट वर्गमूल है। अब, उपरोक्त सभी चरणों को संयोजित करने पर,         

√279841=529

 

दशमलव संख्याओं का वर्गमूल

यदि किसी दी गई संख्या में दशमलव के बाद अंकों की संख्या सम नहीं है, तो पाई और ० (शून्य) लिखते है, जिससे दशमलव बिन्दु के बाद अंकों की संख्या सम हो जाए।

अब, दशमलव से पहले के अंकों का दाई ओर से तथा दशमलव के बाद के अंकों का बाई और से युग्म बनाते हैं।

युग्‍म बनाने के बाद, वर्गमूल ज्ञात करने के लिए भाग विधि का प्रयोग करते हैं।

जैसे √5369235 = ?

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